期待値の意味と計算の公式
期待値とは、経済学の理論でリスクがある場合のお話として出てきます。
従来の経済学では、通常Ａという行動をとれば、必ずＢという結果が得られるとして考えます。
たとえば、100円の財（商品）を買えば、必ずそれに見合った結果（この場合は満足）が得られると考えるのが、従来の経済学の考え方になります。
ですが、リスクがある状況では、必ずしも同じだけの結果が得られるとは限らないことになります。
ここでいうリスクというのは、たとえば、60％の確率で成功するけど、残りの40％の確率で失敗するような状況をいいます。
このようなリスクのある状況を考える理論を経済学では、期待効用理論とか、期待効用最大化仮説といいます。
期待効用理論（期待効用最大化仮説）の論者はフォンノイマンとモルゲンシュテルンです。
期待効用理論における期待値の具体例
期待値について具体的な例で考えてみます。
たとえば、60％の確率で100円がもらえるけど、残りの40％の確率で０円で何ももらえないというクジや賭けについて考えてみます。
このクジは得になるか、何ももらえないかというものなので、やるかやらないかでいえばやったほうが良いクジだといえます。
このようなクジの結果の平均のことを期待値といいます。
クジの期待値とは、わかりやすくいえば、だいたいこのくらいもらえるだろうという期待される値のことです。
この期待値は、それぞれの確率に結果かけた合計として表されます。
期待値の計算例
例：60％（確率１）で100円（結果１）、40％（確率２）で０円（結果２）というクジの期待値
このクジの期待値はそれぞれの確率に結果をかけ合わせた合計として計算されます。
クジの期待値＝0.6×100円＋0.4×0円＝60円
ですから、このクジを何回も引けばだいたい60円くらい儲かりそうだなといえることになります。
期待値の計算の公式
この期待値の求め方として計算を公式化すると以下のようになります。
期待値＝（確率１ × 結果１）＋（確率２ × 結果２）
この期待値の計算の公式は、確率に応じた結果の平均をとっているというイメージになります。
期待効用の意味と計算の公式
では、このようなクジがあったとして、このクジを引いた場合の満足度はどうなるでしょうか。
経済学では満足のことを効用といいます。
このクジの効用の求め方を考えてみます。
さきほどの例のようにクジの結果が確率で変化する場合、クジの効用も確率によって変化することになります。
ですから、クジの結果が期待値で表されたのと同じように効用も期待値で表されることになります。
この効用の期待値のことを期待効用といいます。
期待効用の定義と計算の公式
- 効用の期待値のこと（言葉による定義）
- 期待効用＝（確率×効用）の合計（数式による定義（＝公式））
それぞれのクジの確率に結果に対応した効用をかけ合わせた値を合計したものが期待効用になります。
クジを何回も引いた場合にだいたいこれくらいの効用になるよねというのが期待効用の意味になります。
期待効用の計算の具体例
では、期待効用についても具体例で考えてみます。
たとえば、効用関数が
$$U＝\sqrt{x}$$
で表されるとします。
このとき、さきほどのクジの期待効用はいくらになるでしょうか。
さきほどと同様、60％の確率で100円がもらえるけど、残りの40％の確率で０円で何ももらえないというクジを引くとします。
ここで100円もらった場合の効用は、
$$\sqrt{100}＝10$$
なので、10になります。
一方で、０円となり何ももらえなかったときの効用は、
$$\sqrt{0}＝0$$
なので、０になります。
よって、この場合の期待効用は、
$$0.6×\sqrt{100}＋0.4×\sqrt{0}＝6$$
で６ということになります。
つまり、このクジを何回も引くとだいたい効用は６になるんだということがいえることになります。
このように確率に応じた効用の平均をとるというのが期待効用の求め方のイメージです。
以上のように、結果が確率に支配されている場合の効用というのは期待効用で表されることになります。
このような理論を期待効用理論（期待効用最大化仮説）といいます。
期待効用理論（期待効用最大化仮説）の計算問題
期待効用理論を理解するために、計算問題を考えてみます。
期待効用理論の計算問題では、保険や株価、不動産投資などの形で問われます。
保険に入ったり、株や不動産を買ったりするのに事故が起きる確率や株価（または不動産価格）が上昇する確率がどれだけあればよいかという問題が典型的なパターンになります。
例題：ある個人の資産を400とし、資産の全額で株を購入することを検討しているとする
株が上昇すれば、この個人の資産は900になるが、株が下落した場合は資産が100になるものとする
資産額をｘとした場合、この個人の効用が
$$U＝\sqrt{ｘ}$$
で表せるとすると、この個人は株が上昇する確率が何％なら株を購入するか。
まず、この個人が株を買わない場合は、もともとの資産である400がそのまま残ってきます。
そのため、この場合の効用は、
$$\sqrt{400}＝20$$
で、20となります。
一方で、株を買う場合の効用を考えてみます。
株が上昇すれば、資産は900となるので、この場合の効用は
$$\sqrt{900}＝30$$
で、30になります。
これに対し、株が下落すると、資産は100になってしまうので、この場合の効用は
$$\sqrt{100}＝10$$
で、10となります。
株が上昇する確率をPとすると、株を買った場合のこの個人の期待効用は
$$P×\sqrt{900}＋（１－P）×\sqrt{100}$$
となります。
株が下落する確率は、全体の100％（＝１）から上昇する確率であるPを引いた１－P
を使います。
この個人が株を買うのは
（株を買う場合の効用）≧（株を買わない場合の効用）
となるときなので、
$$P×\sqrt{900}＋（１－P）×\sqrt{100}≧\sqrt{400}$$
30P＋10（１－P）≧20
が成立します。
これを解くと
P≧0.5
となるので、株が上昇する確率が50％以上であれば、この個人は株を買うことになります。
